Matematica: Matrice

Fie matricea A=⎛⎝⎜2416−6−12−4851040⎞⎠⎟.
Să calculeze determinantul  acestei matrice.

Rezolvare. Un elev grăbit, care se va bucura că problema primită la bacalaureat este atât de simplă, își va aminti repede că un determinant de ordinul 3 se poate calcula cu regula lui Sarrus și se va apuca sârguincios de treabă. Astfel, el va copia primele două rânduri ale matricei și le va pune dedesubtul acesteia, obținând

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣.24−6−12510

Apoi, se va apuca să facă produsele care se cuvin, conform regulii lui Sarrus, pe diagonală. Pentru aceasta, el va înmulți întâi diagonala principală

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣24−6−12510

și va obține produsul p1=2⋅(−12)⋅40=−960. Apoi va trece la diagonala următoare, paralelă cu diagonala principală

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣24−6−12510

și va obține p2=4⋅(−48)⋅5=−960. În fine, va termina cu ultima diagonală paralelă cu diagonala principală

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣24−6−12510

obținând, culmea, p3=−960, același rezultat ca și pentru celelalte produse.

Chinuit de coincidența tulburătoare a acestor trei rezultate, își va face meseria mai departe, așa cum știe că trebuie procedat la calculul determinanților de ordinul 3 conform regulii lui Sarrus. Mai exact, el va trece să calculeze de-acum cele trei produse obținute pe diagonalele paralele cu diagonala secundară și va avea

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣.24−6−12510

Va nota atunci că p4=5⋅(−12)⋅16=−960. Bănuind corect că nu va mai vedea altceva decât acest ciudat −960, va mai calcula apoi

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣24−6−12510

și, respectiv,

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣,24−6−12510

obținând de fiecare dată −960, adică p5=−960 și p6=−960.

Fiind acum în posesia celor șase produse, va face calculul final conform regulii lui Sarrus, adunândprodusele paralele cu diagonala principală și scăzând produsele paralele cu diagonala secundară. Așadar, va obține

detA=p1+p2+p3−p4−p5−p6=

=−960−960−960+960+960+960=0.

Da, tocmai 0! A ajuns la un rezultat atât de banal, după un calcul atât de anevoios... Nu cumva este ceva putred la mijloc? Nu cumva putea ajunge mai repede la un asemenea rezultat? Oare examinatorul ar fi mulțumit de această rezolvare sisifică a elevului nostru? Mă îndoiesc...




Dar ce se putea face mai rapid, totuși, din moment ce acest simplu rezultat final ar fi fost atât ușor de prevăzut? Ar fi trebuit, oare, folosită regula triunghiurilor? Hmmm... Poate că un elev familiarizat cu regula triunghiurilor nu s-ar mai fi chinuit să coboare primele două rânduri și ar fi obținut produsele anterioare făcând înmulțirile direct prin triunghiurile cu laturile mici paralele cu diagonala principală,

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣,

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣

și

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣,

respectiv, cu laturile mici paralele cu diagonala secundară,

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣,

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣

și

detA=∣∣∣∣2416−6−12−4851040∣∣∣∣,

obținând și el, desigur, același rezultat nul în final. Dar oare elevul care aplică regula triunghiurilor poate fi mulțumit de metoda pe care a aplicat-o? A câștigat el mult mai mult timp decât elevul din metoda lui Sarrus? Desigur, nu prea. Și acest elev a muncit din greu ca să afle rezultatul acesta banal.